Если две случайные величины x и h зависимы, то информация о том, какое значение приняла одна из них меняет наше представление о распределении другой.
Иначе говоря, по распределению двумерной случайной величины ( x , h ) можно судить о распределении каждой из величин x и h .
В случае непрерывных двумерных случайных величин условные распределения строятся по следующей схеме.
Если p( x , h )(x, y) — плотность вероятностей совместного распределения двумерной случайной величины ( x , h ), то плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:
Условной плотностью распределения случайной величины x при условии, что случайная величина h принимает значение h = y0, называется функция переменной x, определяемая формулой
Аналогично, условной плотностью распределения случайной величины h при условии, что случайная величина x принимает значение x = x0, называется функция переменной y, определяемая формулой
ПРИМЕР 1. Независимость компонент непрерывного случайного вектора
Рассмотрим пример непрерывной двумерной случайной величины, распределенной равномерно в единичном круге. Найдем плотности вероятностей каждой компоненты и их условные плотности вероятностей. Проверим независимость компонент двумерной случайной величины.
Важный для дальнейшего пример дает случайный вектор ( x , h ), имеющий нормальное распределение.
В наиболее общем случае плотность вероятностей такого вектора зависит от пяти параметров a x , a h , s x , s h и k x h и имеет вид:
При любых значениях параметров a x , a h , s x , s h , k x h | k x h | 1 эта функция удовлетворяет условиям нормировки:
Кроме того, можно легко найти плотность распределения каждой из случайных величин x и h :
т.е. случайные величины x и h имеют нормальные распределения с параметрами a x , a h , s x >0,
Рассмотрим теперь условное распределение x при условии h = y. Для этого, выполнив несложные вычисления, найдем
Это нормальное распределение с параметрами и .
Аналогично можно найти условное распределение условное распределение h при условии x = x:
Видно, что оно тоже является нормальным с параметрами и .
ПРИМЕР 2. Независимость компонент нормально распределенного случайного вектора
Рассмотрим пример непрерывной двумерной случайной величины, распределенной нормально с параметрами a x =0, a h =1, s x =1, s h =2 , k x h =0.5. Найдем плотности вероятностей каждой компоненты и их условные плотности вероятностей. Проверим независимость компонент двумерной случайной величины.
Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter
Условная плотность вероятности
Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.
Определения
Будем предполагать, что задано вероятностное пространство .
Дискретные случайные величины
Пусть 
и 
— случайные величины, такие, что случайный вектор 
имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности 
. Пусть 
такой, что 
. Тогда функция
,
где pY — функция вероятности случайной величины Y , называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины X при условии, что Y = y0 . Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.
Абсолютно непрерывные случайные величины
Пусть и — случайные величины, такие что случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности 
. Пусть таково, что fY(y0) > 0 , где fY — плотность случайной величины Y . Тогда функция
называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины X при условии, что Y = y0 . Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.
Свойства условных распределений
- Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,
,- ,
,
,- почти всюду на ,
- ,
почти всюду на 
,
,- Справедливы формулы полной вероятности:
- ,
- .
,
.- Если случайные величины X и Yнезависимы, то условное распределение равно безусловному:
почти всюду на 
.
Условные вероятности
Дискретные случайные величины
Если A — счётное подмножество , то
.
Абсолютно непрерывные случайные величины
Если 
— борелевское подмножество , то полагаем по определению
.
Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как .
Условные математические ожидания
Дискретные случайные величины
- Условное математическое ожидание случайной величины X при условии Y = y0 получается суммированием относительно условного распределения:
.
- Условное математическое ожидание X при условии случайной величины Y — это третья случайная величина , задаваемая равенством
.
Абсолютно непрерывные случайные величины
- Условное математическое ожидание случайной величины X при условии Y = y0 получается интегрированием относительно условного распределения:
.
- Условное математическое ожидание X при условии случайной величины Y — это третья случайная величина , задаваемая равенством
.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое «Условная плотность вероятности» в других словарях:
Условная функция вероятности — Условное распределение в теории вероятностей это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение. Содержание 1 Определения 1.1 Дискретные случайные величины … Википедия
Условная плотность — Условное распределение в теории вероятностей это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение. Содержание 1 Определения 1.1 Дискретные случайные величины … Википедия
плотность — 3.1 плотность: Величина, определяемая отношением массы вещества к занимаемому им объему. Источник: ГОСТ 8.024 2002: Госуд … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Интенсивность — Показатель геологической или другой природной опасности, прямо или косвенно характеризующий ее разрушительную силу Источник: Рекомендации: Рекомендации по оценке геологического риска на территории г. Москвы Смотри также родственные термины: 65… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Интенсивность отказов — 3.13 Интенсивность отказов по ГОСТ 27.002. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Интенсивность восстановления — 6.22. Интенсивность восстановления (Instantaneous) restoration rate Условная плотность вероятности восстановления работоспособного состояния объекта, определенная для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ — процессы без вероятностного последствия, статистич. свойства к рых в последующие моменты времени зависят только от значений процессов в данный момент и не зависят от их предыстории. M.с … Физическая энциклопедия
РАНГОВ ВЕКТОР — векторная статистика R= =(R1, . . ., Rn), построенная по случайному вектору наблюдений X= (Х 1 . . Х п), i я компонента к рой Ri=Ri(X), i=l, 2, . . ., п, определяется по правилу где характеристическая функция множества , т. е. Статистика Ri наз … Математическая энциклопедия
ГОСТ 27.002-89: Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения — Терминология ГОСТ 27.002 89: Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения оригинал документа: 1.2. Безотказность Reliability, failure free operation Свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ОСТ 45.153-99: Надежность средств электросвязи. Термины и определения — Терминология ОСТ 45.153 99: Надежность средств электросвязи. Термины и определения: 80 анализ отказов Логическое и систематическое исследование отказов объекта путем идентификации характера возникновения, причин и последствий отказов с целью… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации