Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распределения F (х), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от
т. е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка,- т. е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать 
к нулю.
В пределе получим производную от функции распределения:
- Функция f (х) — производная функции распределения — характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.
Эта функция называется плотностъю распределения (иначе «плотностью вероятности») непрерывной случайной величины X. Иногда функцию f (х) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «диффе-ренциальным законом распределения величины X.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Термины «плотность распределения», «плотность вероятности»
Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными Рис. 5.4.1. при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция f (х) буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»).
Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).
Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.
Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения и элементарный участок dx, примыкающий к точке х (рис. 5.4.2). Вероят ность попадания случайной величины X
на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна f(x)dx. Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx (рис. 5.4.2).
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от а до 0 (рис. 5.4.3) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т. е. интегралу:
Геометрически вероятность попадания величины X на участок равна площади кривой распределения, опирающсйся на этот участок (рис. 5.4.3).
Формула (5.4.2) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению
откуда по формуле (5.4.3) имеем:
Геометрически F (х) есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки х (рис. 5.4.4).
Укажем основные свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения F (х) есть неубывающая функция.
2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:
Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:
- вся Кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
- полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Выясним размерности основных характеристик случайной величины — функции распределения и плотности распределения. Функция распределения F (х), как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения /(х), как видно из Формулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины.
Примеры с решением
Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины X задана выоажением
а) Найти коэффициент а.
б) Найти плотность распределения f (х).
в) Найти вероятность попадания величины X на участок от 0,25 до 0,5.
а) Так как функция распределения величины X непрерывна, то при
б) Плотность распределения величины X выражается формулой
в) По формуле (5.3.1) имеем:
Пример 2. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью:
а) Найти коэффициент а,
б) Построить график плотности распределения /(х).
в) Найти функцию распределения F (х) и построить ее график,
г) Найти вероятность попадания величины X на участок от 
а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности распределения:
б) График плотности f (х) представлен на рис. 5.4.5.
в) По формуле (5.4.4) получаем выражение функции распределения:
График функции F (х) изображен на рис. 5.4.6.
Тот же результат, но несколько более сложным путем можно получить по формуле (.5.4.3).
Пример 3. Плотность распределения случайной величины X задана формулой:
а) Построить график плотности
б) Найти вероятность того, что величина X попадет на участок (—1,+1).
а) График плотности дан на рис. 5.4.7.
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Функция распределения вероятностей. Плотность вероятностей
Определение . Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции распределения.
Определение. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(х), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее x, то есть:
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(a ≤ X Определение . Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:
Часто вместо термина «плотность распределения вероятностей» используют термин «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».
Свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения неотрицательна в любой точке оси Ох:
2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), определяется равенством:
P(a Определение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством
где f(x) – плотность распределения случайной величины Х.
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (a;b), то
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
Определение . Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Как и в случае с дискретной случайной величиной, можно показать, что
В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a;b), то
Дисперсия обладает следующими свойствами:
1. Дисперсия постоянной равна нулю:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:
4. Дисперсия произведения независимых случайных величин равна произведению дисперсий сомножителей:
5. Дисперсия суммы постоянной и независимой случайной величины равна квадрату постоянной на дисперсию независимой случайной величины:
Пример. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х