Ранее мы представили примеры решений задач о дискретной случайной величине, теперь переходим к непрерывной. Формально в задачах требуется найти тоже самое: вычислить числовые характеристики, начертить графики, определить неизвестные параметры, найти вероятности событий.
Но формулы-то совсем другие (в силу непрерывности СВ), поэтому стоит разобраться в них хорошенько. Надеемся, наши примеры вам помогут (а если нет времени, закажите решение).
Ниже вы найдете примеры решений на самые разные законы распределений непрерывных случайных величин: законы $\arcsin$ и $\arctan$, тригонометрические и логарифмические функции, показательный, равномерный закон распределения, законы Коши, Симпсона, Лапласа и т.д.
Примеры решений
Задача 1. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения
1) Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал $[\pi, 5/4 \pi]$.
2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Задача 2. Случайная величина X задана плотностью вероятности:
Требуется:
а) найти коэффициент C;
б) найти функцию распределения F(x);
в) найти M(X), D(X), σ(X)
г) найти вероятность P(α -2t при t ≥ 0 и f(t)=0 при t Решебник по теории вероятности онлайн
Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:
Нормальный закон распределения вероятностей
На практике большинство случайных величин, на которых воздействует большое количество случайных факторов, подчиняются нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому в различных приложениях теории вероятностей этот закон имеет особое значение.
Случайная величина $X$ подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид
Схематически график функции $f\left(x\right)$ представлен на рисунке и имеет название «Гауссова кривая». Справа от этого графика изображена банкнота в 10 марок ФРГ, которая использовалась еще до появления евро. Если хорошо приглядеться, то на этой банкноте можно заметить гауссову кривую и ее первооткрывателя величайшего математика Карла Фридриха Гаусса.
Вернемся к нашей функции плотности $f\left(x\right)$ и дадим кое-какие пояснения относительно параметров распределения $a,\ ^2$. Параметр $a$ характеризует центр рассеивания значений случайной величины, то есть имеет смысл математического ожидания. При изменении параметра $a$ и неизмененном параметре $ ^2$ мы можем наблюдать смещение графика функции $f\left(x\right)$ вдоль оси абсцисс, при этом сам график плотности не меняет своей формы.
Параметр $ ^2$ является дисперсией и характеризует форму кривой графика плотности $f\left(x\right)$. При изменении параметра $ ^2$ при неизмененном параметре $a$ мы можем наблюдать, как график плотности меняет свою форму, сжимаясь или растягиваясь, при этом не сдвигаясь вдоль оси абсцисс.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал
Как известно, вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можно вычислять $P\left(\alpha 70\right)=\Phi \left( \over >\right)-\Phi \left( \over >\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$
При копировании материала с сайта, обратная ссылка обязательна!
Экспоненциально распределенная случайная величина
На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ — распределенных по показательному (или экспоненциальному) закону.
Плотность распределения величины $X$ с экспоненциальным законом распределения задается формулой:
Функция распределения величины $X$:
Здесь $\lambda$ — единственный параметр данного распределения, полностью определяющий его свойства. В частности, числовые характеристики выражаются через этот параметр: $M(X)=1/\lambda$, $D(X)=1/\lambda^2$.
Экспоненциальное распределение моделирует время между двумя последовательными свершениями события, а параметр $\lambda$ описываетс среднее число наступлений события в единицу времени. Обычно с помощью этого закона описывают: продолжительность обслуживания покупателя, время жизни оборудования до отказа, промежуток времени между поломками и т.п.
В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются показательно распределенные случайные величины.
Примеры решений
Задача 1. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;
б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.
Задача 2. Известно, что время работы прибора до первого отказа подчиняется показательному распределению со средним значением 1 год. Какова вероятность, что до первого отказа пройдет не менее 2 лет?
Задача 3. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина $X$, распределенная по показательному закону с параметром $\lambda=1/3$ (1/день). Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 5 дней.
Задача 4. Время в годах безотказной работы прибора подчинено показательному закону, т.е. плотность распределения этой случайной величины такова: $f(t)=2e^ $ при $t\ge 0$ и $f(t)=0$ при $t\lt 0$.
1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.
Задача 5. Предполагая, что случайное время обслуживания абонента службой «09» распределено по показательному закону и средняя продолжительность обслуживания составляет 1,5 минуты, найдите вероятность того, что абонент будет обслужен более, чем за 2 минуты.
Задача 6. Длительность телефонного разговора подчиняется показательному закону. Найти среднюю длительность разговора, если вероятность того, что разговор продлится более 5 минут, равна 0,4.
Задача 7. Случайная величина задана плотностью распределения $p(x)=ce^ $ при $x \gt 0$, и ноль в остальных случаях. Найти постоянную $c$, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Задача 8. Непрерывная случайная величина $\xi$ распределена по показательному закону с параметром $\lambda$, равному номеру варианта 9. Найти плотность распределения случайной величины $\xi$, функцию распределения, построить графики этих функций. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины $\xi$ и вероятность того, что $\xi$ принимает значения, меньшие своего математического ожидания.
Задача 9. Случайная величина $\xi$ распределена по показательному закону с параметром 2. Найти $M_ $, $D_ $ вероятность попадания $\xi$ в интервал $(-1;2)$. Нарисовать графики плотности распределения и функции распределения $\xi$.
Задача 10. Известно, что $Х$ распределено по экспоненциальному закону $Exp(\lambda)$. Найдите вероятность события $|Х — МХ | \lt 3\sigma$ («правило $3\sigma$» для показательного распределения).
Решебник по теории вероятности онлайн
Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:
Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность вероятности.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек.
Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.
Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше.
Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.
Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:
Свойства плотности распределения.
1) Плотность распределения – неотрицательная функция.
2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от — ¥ до ¥ равен единице.
Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:
Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до .
Построим график плотности распределения:
Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством .
Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).
Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал .
Найдем функцию распределения:
Построим график плотности распределения:
Построим график функции распределения:
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал .
Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:
Плотность распределения
Пример. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:
Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до .
Построим график плотности распределения:
Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством .
Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
Пример. Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).
Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал .
Найдем функцию распределения:
Построим график плотности распределения:
Построим график функции распределения:
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал .
Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Пример. Для рассмотренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Пример. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.
Т.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте).
Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна
Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз.
Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий.
1) Белый шар не появился вовсе:
2) Белый шар появился один раз:
3) Белый шар появиться два раза: .
4) Белый шар появиться три раза:
5) Белый шар появиться четыре раза:
6) Белый шар появился пять раз:
Получаем следующий закон распределения случайной величины Х.
| х | ||||||
| х 2 | ||||||
| р(х) | 0,0102 | 0,0768 | 0,2304 | 0,3456 | 0,2592 | 0,0778 |
Функция Лапласа.
Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.
Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.
Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.
Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 – математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.
Плотность распределения имеет вид:
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).
Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.
Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.